(Geometria Combinatória Elementar: Problemas e Soluções; autor: Andrasz Szilard)

Contents

1. Counting 7
1.1 Counting points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.2 Counting lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.3 Counting regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.4 Counting configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.5 Counting paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.6 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.1 Counting points . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
1.6.2 Counting lines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
1.6.3 Counting regions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
1.6.4 Counting configurations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
1.6.5 Counting paths . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

2. The pigeonhole principle 44
2.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3. Helly type theorems 56
3.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4. The Sperner lemma 65
4.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5. Miscellaneous problems 76
5.2 Solutions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

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Subject index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92



O objetivo deste livro é apresentar algumas idéias, métodos e temas de Geometria Combinatória Elementar. Mesmo que a maior parte do livro possa ser compreendida sem qualquer embasamento matemático, sendo portanto também acessível por crianças de 12 a 14, o recomendamos para estudantes do ensino médio e estudantes universitários como uma introdução a alguns tópicos em Geometria Combinatória (ou convexa) (problemas de contagem, princípio da casa dos pombos, o teorema de Helly, o lema de Sperner).

Nossa abordagem é basicamente elementar, mas é útil saber algumas técnicas de combinatórias (tal como a regra do produto, a indução matemática, contagem recursiva, dupla contagem, etc) e algumas noções básicas (número de permutações, binomial coeficientes). Essas noções aparecem no índice de assunto, para que possam ser identificadas facilmente.

Alguns problemas (teorema de Helly, lema de Sperner, etc) são formulados tanto em R2 e R3 para ajudar a compreensão de analogias e para mostrar algumas dicas para generalizações. Quase todos estes problemas podem ser resolvidos mesmo no Rn, mas apresentamos apenas a sua versão em duas ou três dimensões, para uma melhor a compreensão das principais ideias, sem as complicações das ferramentas necessárias em dimensões maiores.

Alguns problemas que apresentamos aqui são as clássicas, alguns são de concursos regionais e de diferentes níveis das olimpíadas de Matemática e alguns são extraídos de artigos (e formulados em dimensão baixa). O principal objetivo não era criar uma coleção completa, mas para oferecer uma rápida e breve resumo, para apresentar algumas propriedades que têm aplicações surpreendentes também em matemática superior (o lema Sperner) e para mostrar algumas maneiras interessantes de generalizações.

Portanto, este livro pretende ser uma espécie de ponte entre o elementar problemas e cursos universitários. O autor é grato a Hajnalka Csap`o e Bodor Julianna, por suas ajudas na preparação deste livro.

Os Autores


ISBN: 9739417892
Idioma: Inglês básico