O livro "Números complexos de A a Z", de Titu Andreescu e Dorin Andrica, é um clássico, que explora magistralmente o caráter multidisciplinar da Matemática. O livro expõe com clareza a teoria e os aspectos históricos dos números complexos, e os utiliza como uma ferramenta extremamente eficiente para o estudo de resultados sutis e profundos de geometria, incluindo um grande número de problemas e ideias sofisticadas envolvendo e combinando números complexos, geometria e desigualdades.
Os dois autores são romenos, e o livro se nutre da enorme tradição da Romênia e do leste europeu em Olimpíadas de Matemática. As primeiras Olimpíadas de Matemática registradas surgiram na Hungria, no final do século XIX, e a Romênia organizou a primeira Olimpíada Internacional de Matemática, a IMO. Titu Andreescu, um dos autores, liderou e treinou a famosa equipe norte-americana que, na IMO de 1994 conseguiu pela primeira vez a façanha de obter pontuação perfeita: todos os seus 6 integrantes obtiveram a pontuação máxima na competição - 42 pontos, feito que ainda não foi igualado em nenhuma outra IMO. O livro contém uma grande quantidade de problemas de olimpíadas para os quais as técnicas desenvolvidas fornecem soluções bonitas e elegantes.
O livro preenche uma lacuna no Brasil não são comuns os livros de matemática que, embora acessíveis a alunos e professores do ensino médio, contenham ideias sofisticadas e criativas, e discutam problemas desafiadores. Trata-se de uma obra indispensável para alunos, professores e amantes da matemática em geral, que encontrarão nele material instigante e profundo, que contribuirá para o desenvolvimento de seus talentos matemáticos. Em particular, trata-se de um material precioso para a preparação de alunos e professores que participam de Olimpíadas de Matemática, os quais se beneficiarão da experiência dos autores, da clareza das ideias e da variedade e profundidade dos problemas discutidos no livro.

Carlos Gustavo T. de A. Moreira
Pesquisador Titular do IMPA e Coordenador Geral da Olimpíada Brasileira de Matemática

Números Complexos de A a Z - Titu Andreescu (NOVA EDIÇÃO EM PORTUGUÊS !!!)

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ISBN: 8560653287

Sumário

1. Números Complexos na Forma Algébrica................................................. 13
1.1. Representação Algébrica dos Números Complexos............................. 13
1.1.1. Definição dos números complexos......................................... 13
1.1.2. Propriedades da adição ......................................................... 14
1.1.3. Propriedades da multiplicação............................................... 14
1.1.4. Números complexos na forma algébrica................................ 16
1.1.5. Potências do número i............................................................ 18
1.1.6. Conjugado de um número complexo...................................... 19
1.1.7. Módulo de um número complexo .......................................... 21
1.1.8. Resolvendo equações quadráticas ....................................... 26
1.1.9. Problemas ............................................................................. 29
1.2. Interpretação Geométrica das Operações Algébricas........................... 34
1.2.1. Interpretação geométrica de um número complexo............... 35
1.2.2. Interpretação geométrica do módulo...................................... 35
1.2.3. Interpretação geométrica das operações algébricas.............. 36
1.2.4. Problemas ............................................................................. 39
2. Números Complexos na Forma Trigonométrica....................................... 41
2.1. Representação Polar dos Números Complexos ................................... 41
2.1.1. Coordenadas polar no plano.................................................. 41
2.1.2. Representação polar de um número complexo...................... 43
2.1.3. Operações com números complexos na forma polar............. 47
2.1.4. Interpretação geométrica da multiplicação............................. 51
2.1.5. Problemas ............................................................................. 51
2.2. As raízes enésimas da unidade ............................................................ 53
2.2.1. Definindo as raízes enésimas de um número complexo ...... 53
2.2.2. As raízes enésimas da unidade ............................................ 56
2.2.3. Equações binomiais .............................................................. 64
2.2.4. Problemas ............................................................................. 64
3. Números Complexos e Geometria............................................................. 66
3.1. Simples Noções Geométricas e Propriedades...................................... 66
3.1.1. Distância entre dois pontos.................................................... 66
3.1.2. Segmentos, raios e retas........................................................ 66
3.1.3. Dividindo um segmento em uma razão dada......................... 70
3.1.4. Medida de um ângulo............................................................. 71
3.1.5. Ângulo entre duas retas......................................................... 73
3.1.6. Rotação de um ponto............................................................. 74
3.2. Condições para Colinearidade, Ortogonalidade e Conciclicidade......... 78
3.3. Triângulos Semelhantes........................................................................ 81
3.4. Triângulos Equiláteros........................................................................... 84
3.5. Geometria Analítica no Plano Complexo............................................... 90
3.5.1. Equação da reta..................................................................... 90
3.5.2. Equação da reta determinada por dois pontos....................... 91
3.5.3. Área de um triângulo.............................................................. 93
3.5.4. Equação da reta determinada por um ponto e uma direção.. 95
3.5.5. Pé da perpendicular de um ponto até uma reta..................... 97
3.5.6. Distância de ponto à reta........................................................ 97
3.6. A circunferência..................................................................................... 97
3.6.1. Equação da circunferência..................................................... 97
3.6.2. Potência de ponto em relação a uma circunferência............. 99
3.6.3. Ângulo entre duas circunferências....................................... 100
4. Mais sobre Números Complexos e Geometria ...................................... 102
4.1. Produto Real entre Dois Números Complexos.................................... 102
4.2. Produto Complexo entre Dois Números Complexos........................... 108
4.3. Área de um Polígono Convexo............................................................ 112
4.4. Cevianas Concorrentes e Pontos Importantes de um Triângulo......... 115
4.5. Circunferência dos Nove Pontos de Euler........................................... 119
4.6. Algumas Distâncias Importantes em um Triângulo ............................. 124
4.6.1. Invariantes fundamentais de um triângulo............................ 124
4.6.2. A distância OI....................................................................... 125
4.6.3. A distância ON...................................................................... 126
4.6.4. A distância OH...................................................................... 128
4.7. Distância entre Dois Pontos no Plano de um Triângulo....................... 128
4.7.1. Coordenadas baricêntricas .................................................. 128
4.7.2. Distância entre dois pontos em coordenadas baricêntricas..... 130
4.8. Área de um Triângulo em Coordenadas Baricêntricas........................ 133
4.9. Triângulos Ortopolares......................................................................... 139
4.9.1. Reta de Simson-Wallance e triângulo pedal......................... 139
4.9.2. Condições necessárias e suficientes para ortopolaridade... 146
4.10. Área do Triângulo Antipedal................................................................ 150
4.11. .Teorema de Lagrange e suas Aplicações........................................... 154
4.12. Centro de Euler de um Polígono Inscritível......................................... 162
4.13. Algumas Transformações Geométricas no Plano Complexo.............. 169
4.13.1. Translação............................................................................ 165
4.13.2. Reflexão em relação ao eixo real......................................... 166
4.13.3. Reflexão em relação a um ponto.......................................... 166
4.13.4. Rotação................................................................................ 167
4.13.5. Transformações isométricas no plano complexo................. 167
4.13.6. Teorema de Morley............................................................... 169
4.13.7. Homotetia............................................................................. 173
4.13.8. Problemas............................................................................ 175
5. Problemas Importantes para Olimpíadas................................................ 175
5.1. Problemas envolvendo Módulos e Conjugados................................... 176
5.2. Equações Algébricas e Polinômios...................................................... 192
5.3. De Identidades Algébricas a Propriedades Geométricas.................... 199
5.4. Resolvendo Problemas Geométricos.................................................. 208
5.5. Resolvendo Problemas Trigonométricos............................................. 228
5.6. Mais sobre Raízes Enésimas da Unidade...........................................235
5.7. Problemas Envolvendo Polígonos....................................................... 244
5.8. Números Complexos e Combinatória.................................................. 253
5.9. Problemas Diversos............................................................................. 262
6. Respostas, Dicas e Soluções dos Problemas Propostos...................... 274
6.1. Respostas, Dicas e Soluções dos Problemas..................................... 274
6.1.1. Números complexos na representação algébrica................ 274
6.1.2. Interpretação geométrica dos operações algébricas............ 278
6.1.3. Representação polar dos números complexos.................... 279
6.1.4. As raízes enésimas da unidade........................................... 281
6.1.5. Algumas transformações geométricas do plano complexo...... 284
6.2. Soluções dos Problemas para Olimpíadas.......................................... 284
6.2.1. Problemas envolvendo Módulos e Conjugados (págs 175-176)...... 284
6.2.2. Equações algébricas e polinômios (pág 181)....................... 292
6.2.3. De identidades algébricas a propriedades geométricas (pág 190..).. 295
6.2.4. Resolvendo problemas geométricos (págs 211-213)........... 297
6.2.5. Resolvendo problemas trigonométricos (pág 220)............... 309
6.2.6. Mais sobre Raizes Enésimas da unidade (págs. 228 – 229)... 312
6.2.7. Problemas envolvendo polígonos (pág. 237)....................... 315
6.2.8. Números Complexos e Combinatória (pág. 245)................. 321
6.2.9. Problemas Diversos (pág. 252)............................................ 324
Glossário............................................................................................................ 329
Referências........................................................................................................ 335
Índice dos Autores.............................................................................................. 337
Índice de Assuntos............................................................................................. 338